Geometria Euclidiana – Com Construções Interativas
- Categoria: Estudo e Ensino, Matemática
- Ano: 2021-06-01
- Número de páginas: 156
Neste livro introduzem-se os primeiros conceitos e os primeiros resultados da Geometria Euclidiana, guiados por dois instrumentos, reais ou virtuais, a régua e o compasso. Os instrumentos reais ajudam a construir as propriedades geométricas sobre a experiência do leitor.
Exercícios
Capítulo 4
- Dado um triângulo $\triangle\,ABC$ qualquer, há uma
circunferência (chamada Circunferência de Taylor)
que passa pelas seis projeções ortogonais dos
pé das alturas dos vértices sobre os respetivos lados
adjacentes. Este exercício destina-se a prová-lo, nos
casos em que $\triangle\,ABC$ é acutângulo.
Seja $\triangle\,A'B'C'$ o triângulo órtico, com
$A'\in\overline{BC}$, $B'\in\overline{AC}$ e $C'\in\overline{AB}$,
e sejam $A_b$ e $A_c$ as projeções ortogonais de
$A'$ sobre $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$, respetivamente, e
$B_a$, $B_c$, $C_a$ e $C_b$ as projeções ortogonais
definidas analogamente a partir de $B'$ e $C'$.
- Mostre que $\quad\displaystyle\frac{|AC'|^2}{|AC|^2}=\displaystyle\frac{|AC_b|}{|AC|}= \displaystyle\frac{|AB'|^2}{|AB|^2}=\displaystyle\frac{|AB_c|}{|AB|}\ $.
- Conclua que o quadrilátero $□\,B_cA_cA_bC_b$ é cíclico.
- Conclua que o hexágono $B_cA_cC_aB_aA_bC_b$ é cíclico.
- Mostre que se pode inscrever uma circunferência num quadrilátero convexo $□\,ABCD$ se e só se são iguais as duas somas dos comprimentos dos lados opostos (Teorema de Pitot).
- Na figura em baixo temos sete pontos assim organizados:
$\left\{\begin{array}{l} \overleftrightarrow{DG}\parallel\overleftrightarrow{AC}\perp\overleftrightarrow{CF}\\ D,E\in\overline{CF}\\ G\text{ é o ponto médio de }\overline{AE}\\ G\in\overline{BF}\\ \overrightarrow{GE}\text{ é a bissetriz de }\angle\,DGF \end{array}\right.$
- Mostre que se $|EF|=\sqrt{2}\,|DE|$ então $|BC|=(1+\sqrt{2})\,|AB|$.
- Construa uma figura nas condições acima descritas, partindo
dos três pontos $A$, $B$ e $C$.
[Sugestão. Considere uma homotetia de centro $A$ e razão conveniente.]
- Dados comprimentos $a$ e $b>a$ pretendemos construir o seu
meio-proporcional do seguinte modo:
- Sobre uma reta marcamos três pontos, $A$, $B$ e $C$, de tal modo que $\,|AB|=a\,$ e $\,|AC|=b$;
- construímos a circunferência $\gamma$ de diâmetro $\overline{BC}$ e centro $M$;
- construímos a circunferência $\delta$ de diâmetro $\overline{AM}$ e marcamos $D$ na interseção de $\gamma$ com $\delta$.
-
Na figura em baixo, $O$, o centro da circunferência $\gamma$, $B\in\gamma$ e $A\in\overline{OB}$ são pontos fixos e $C$ é um ponto que se move livremente em $\gamma$. Além disso, $r$ é uma paralela a $\overleftrightarrow{BC}$ por $O$ e
$D$ é o ponto de interseção de $r$ com
$\overleftrightarrow{CA}$. Mostre que $D$ descreve uma
circunferência quando $C$ percorre $\gamma$.
[Sugestão. Considere uma homotetia de centro $A$.] - Na figura em baixo temos seis pontos assim organizados:
$\left\{\begin{array}{l} D\in\overline{AC}\\ E\text{ é o ponto médio de }\overline{AB}\\ F\in\overline{BD}\cap\overline{CE}\\ \overleftrightarrow{AB}\perp\overleftrightarrow{CE}\\ \overrightarrow{BD}\text{ é a bissetriz de }\angle\,ABC\\ \underline{∡\,ABC<60^\circ} \end{array}\right.$
Seja $\mathbf{x=|AE|}$ e $\mathbf{y=|BC|}$.
Mostre que:- $F$ é o incentro de $\triangle\,ABC$;
- $|AB|>|BC|$;
- $|DF|>|EF|$;
- $|AD|>|CD|$;
- o semiperímetro de $\triangle\,ABC$ é $s=x+y$;
- a área de $\triangle\,ABC$ é $\mathcal{A}=x\sqrt{y^2-x^2}$;
- $|EF|=x\,\displaystyle\sqrt{\frac{y-x}{x+y}}$.
- Reconstrua a figura nas mesmas condições a partir das
posições de $B$, $F$ e $D$ (V. figura em cima).
[Sugestão. Comece por resolver o problema anterior.]
- Construa o triângulo $\triangle\,ABC$ de que são conhecidos
os pés das alturas dos vértices $A$ e $B$, $H_a$ e $H_b$,
respetivamente, e uma reta $r$ que contém a mediana relativa a
$C$.
[Sugestão. Note que, como $∡\,AH_bB =∡\,BH_aA =90^\circ$, $\overline{AB}$ é o diâmetro de uma circunferência a que pertencem $H_a$ e $H_b$. Considere depois o exercício 7 do Capítulo 2.]
- Construa o triângulo $\triangle\,ABC$ de que são conhecidos os pontos médios dos lados $\overline{BC}$ e $\overline{AC}$, $M_a$ e $M_b$, respetivamente, e o pé da altura do vértice $C$, $H_c$.
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Complemento
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